2020年黑龙江省大庆市高三数学第三次模拟试卷(含答案) 2019年大庆市三模

2019年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）复数在复平面内对应的点为（）

A．（﹣1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（1，1）

2．（5分）已知集合，则A∩B＝（）

A．{x|x≤1} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x＜2}

3．（5分）已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（）

A．焦点在x轴上B．虚轴长为4

C．渐近线方程为3x±2y＝0 D．离心率为

4．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．f（x）＝e x﹣e﹣x B．f（x）＝tan x

C．f（x）＝D．f（x）＝|x|

5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”是“α⊥β”

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．（5分）在等差数列{a n}中，若2a8＝6+a11，则a4+a6＝（）

A．6 B．9 C．12 D．18

7．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的s值为（）

A．﹣10 B．﹣9 C．﹣8 D．﹣6

8．（5分）展开式的常数项为（）

A．﹣160 B．﹣5 C．240 D．80

9．（5分）第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的一个锐角为θ，且tanθ＝2，若在大正方形内随机取一点，则改点取自小正方形区域的概率为（）

A．B．C．D．

10．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）

A．[﹣1，2] B．[﹣1，1] C．D．

11．（5分）如图，某几何体的三视图都是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）

A．8 B．C．16 D．

12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（0，+∞）都有f（2x）＝；

②当x∈（1，2]时，f（x）＝（x﹣2）2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a x（a＞1）恰有3个零点，则实数a

的取值范围是（）

A．（1，2] B．（2，4] C．（4，16] D．（4，256]

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）＝P（ξ＜c+2），则c的值是

14．（5分）已知向量，且的夹角为，则＝．

15．（5分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，且M为AF的中点，若点M的横坐标为2，则|AF|＝．

16．（5分）在数列{a n}中，已知，则数列{a n}的前2n+1项的和S2n+1＝．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）在△ABC中，D是BC 的边上的点，．（1）求sin B的值；

（2）若BD＝2DC＝2，求AC的长．

18．（12分）某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图．

时间区间[9011）[11，13）[13，15）[15，17）[17，19）[19，21]

6 5.5 6 6.4 5.5 6.5

每单收入

（元）

（1）求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；

（2）这个外卖小哥记得在[13，15）这个时段只有4单外卖带有饮品，现在从[13，15）这个时段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AC，BB1的中点．

（1）证明：BD∥平面AEC1；

（2）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角A﹣EC1﹣B的余弦值．

20．（12分）已知点F（1，0），动点M到直线l：x＝4的距离为d ，且，设动点M的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）过点F作互相垂直的两条直线，分别交曲线E于点A，B和C，D，求四边形ABCD面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝xe x﹣a（x2+2x）（a∈R）．

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当时，函数f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，求证：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，射线l2的极坐标方程为．（1）求直线l1的倾斜角及极坐标方程；

（2）若射线l2与l1交与点M，与圆C交于点N（异于原点），求|OM|?|ON|．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知a＞0，b＞0，a+b＝1．设的最小值为m．

（1）求m的值；

（2）解不等式|x+1|﹣|x﹣3|＜m．

2019年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）复数在复平面内对应的点为（）

A．（﹣1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（1，1）

【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解．

【解答】解：复数＝＝＝＝﹣1+i．

∴复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）．

故选：B．

【点评】本题考查复数在复平面内的对应点的求法，考查复数的运算法则和复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（5分）已知集合，则A∩B＝（）

A．{x|x≤1} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x＜2}

【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出集合A∩B．

【解答】解：∵集合，

∴A＝{x|x≤1}，B＝{x|﹣2＜x＜2}．

∴A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}．

故选：C．

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（）

A．焦点在x轴上B．虚轴长为4

C．渐近线方程为3x±2y＝0 D．离心率为

【分析】利用双曲线方程判断焦点位置，虚轴长，渐近线方程，以及离心率即可．

【解答】解：双曲线C的方程为，可知焦点坐标在y轴上，

虚轴长为6，渐近线方程：2x±3y＝0，所以A、B、C都不正确；

双曲线的离心率为：e＝．所以D正确；

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

4．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．f（x）＝e x﹣e﹣x B．f（x）＝tan x

C．f（x）＝D．f（x）＝|x|

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，对于f（x）＝e x﹣e﹣x，有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝e x+e﹣x＞0，则函数f（x）在R上是增函数，符合题意；

对于B，f（x）＝tan x，是正切函数，是奇函数，但在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；

对于C，f（x）＝x+，是奇函数，在（0，1）上是减函数，不符合题意；

对于D，f（x）＝|x|，是偶函数，不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”是“α⊥β”

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】由空间线面关系及充分必要条件得：因为m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”?“α⊥β”，即“m⊥n”是“α⊥β”的充要条件，得解

【解答】解：因为m⊥α，n⊥β，

则“m⊥n”?“α⊥β”，

即“m⊥n”是“α⊥β”的充要条件，

故选：C．

【点评】本题考查了空间线面关系及充分必要条件，属简单题

6．（5分）在等差数列{a n}中，若2a8＝6+a11，则a4+a6＝（）

A．6 B．9 C．12 D．18

【分析】由等差数列{a n}中，2a8＝6+a11，可得a5＝2a8﹣a11，利用a4+a6＝2a5，即可得出．

【解答】解：由等差数列{a n}中，2a8＝6+a11，∴a5＝2a8﹣a11＝6，

则a4+a6＝2a5＝12．

故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的s值为（）

A．﹣10 B．﹣9 C．﹣8 D．﹣6

【分析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．

【解答】解：第一次，k＜5成立，s＝2﹣1＝1，k＝2，

第二次，k＜5成立，s＝2﹣2＝0，k＝3，

第三次，k＜5成立，s＝2×0﹣3＝﹣3，k＝4，

第四次，k＜5成立，s＝2×（﹣3）﹣4＝﹣10，k＝5，

第五次，k＜5不成立，输出s＝﹣10，

故选：A．

【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．

8．（5分）展开式的常数项为（）

A．﹣160 B．﹣5 C．240 D．80

【分析】由二项式定理及分类讨论思想得：（x﹣）6展开式的通项为：T r+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣2）r x6﹣2r，则展开式的常数项为1×（﹣2）3+1×（﹣2）4＝80，得解．

【解答】解：由二项式展开式通项得：

（x﹣）6展开式的通项为：T r+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣2）r x6﹣2r，

则展开式的常数项为1×（﹣2）3+1×（﹣2）4＝80，

故选：D．

【点评】本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中档题．

9．（5分）第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的一个锐角为θ，且tanθ＝2，若在大正方形内随机取一点，则改点取自小正方形区域的概率为（）

A．B．C．D．

【分析】由已知求得tanθ，找出小正方形与大正方形边长的关系，得到面积比，则答案可求．

【解答】解：由tan2θ＝，得，解得tanθ＝

设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH，如图，

则tanθ＝，

设小正方形边长为a，则，即AF＝2a，

∴大正方形边长为，

则小正方形与大正方形面积比为．

故选：B．

【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

10．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）

A．[﹣1，2] B．[﹣1，1] C．D．

【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）在的值域．

【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）

＝2sin（2x++φ）的图象，

若函数y＝g（x）为偶函数，则+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2sin（2x+）．

∵x∈，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，

则函数y＝f（x）在的值域为[﹣1，2]，

故选：A．

【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．11．（5分）如图，某几何体的三视图都是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）

A．8 B．C．16 D．

【分析】如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥，棱长为：2，然后求解表面积即可．

【解答】解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．

因此此几何体的棱长为：2，

表面积S＝4×＝8

故选：B．

【点评】本题考查了正方体的内接正四棱锥表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（0，+∞）都有f（2x）＝；

②当x∈（1，2]时，f（x）＝（x﹣2）2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a x（a＞1）恰有3个零点，则实数a

的取值范围是（）

A．（1，2] B．（2，4] C．（4，16] D．（4，256]

【分析】由函数的零点与函数图象的交点的转化得：函数g（x）＝f（x）﹣log a x（a＞1）恰有3个零点，

即函数f（x）的图象与函数y＝log a x（a＞1）的图象有3个交点，

由函数图象的作法及对数不等式的解法得：由图可知：，解得：4＜a≤256，得解．

【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣log a x（a＞1）恰有3个零点，

即函数f（x）的图象与函数y＝log a x（a＞1）的图象有3个交点，

由上图可知：

，

解得：4＜a≤256，

故选：D．

【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的交点的转化、函数图象的作法及对数不等式的解法，属中档题．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）＝P（ξ＜c+2），则c的值是1【分析】随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x＝2对称，根据P（ξ＞c）＝P（ξ＜c+2），结合曲线的对称性列关于c的等式求解．

【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），

∴曲线关于x＝2对称，

∵P（ξ＞c）＝P（ξ＜c+2），

∴，

∴c＝1．

故答案为：1．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布曲线的对称性，是基础题．14．（5分）已知向量，且的夹角为，则＝2．【分析】向量＝（﹣2，2）可以求出||，且的夹角为，从而能求出，即可得到．【解答】解：因为向量＝（﹣2，2），所以||＝＝，

又因为的夹角为，

所以＝||×||×cos＝2×1×cos＝2，

所以＝＝＝2，

故填：2．

【点评】本题考查了向量的模的公式，向量的数量积运算，属基础题．

15．（5分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，且M为AF的中点，若点M的横坐标为2，则|AF|＝4．

【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合中点坐标公式求出A点的横坐标，结合抛物线的定义即可求出|AF|的值．

【解答】解：抛物线的焦点坐标F（1，0），准线方程为x＝﹣1，

∵M为AF的中点，若点M的横坐标为2，

∴设A点的横坐标为a，则＝2，即a+1＝4，a＝3，

则|AF|＝a﹣（﹣1）＝3+1＝4，

故答案为：4．

【点评】本题主要考查抛物线定义的应用，求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合中点坐标公式以及抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．

16．（5分）在数列{a n}中，已知，则数列{a n}的前2n+1项的和S2n+1＝2n+2﹣3．

【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到S2n，再由S2n+1＝S2n+a2n+1求解．

【解答】解：由，

得（n≥2），

∴（n≥2），

则数列{a n}的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．

∴，

）+（a2+a4+…+a2n）

∴S2n＝（a1+a3+…+a2n

﹣1

＝（1+2+22+…+2n﹣1）+（2+22+…+2n）

＝3（1+2+22+…+2n﹣1）＝．

∴．

故答案为：2n+2﹣3．

【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）在△ABC中，D是BC的边上的点，．（1）求sin B的值；

（2）若BD＝2DC＝2，求AC的长．

【分析】（1）利用三角形的内角和以及两角和与差的三角函数化简求解即可．

（2）利用正弦定理以及余弦定理转化求解AC的长．

【解答】（本小题满分12分）

解：（1）∵，∠ADB∈（0，π），

∴，……………………2"

∵，∴．……………………4"

∴sin B＝sin[π﹣（∠BAD+∠ADB）]＝sin（∠BAD+∠ADB）

＝．………………………6" （2）在△ABD 中，由正弦定理得：，即，∴．……………9"

在△ADC 中，由余弦定理得：，

∴．………12"

【点评】本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图．

时间区间[9011）[11，13）[13，15）[15，17）[17，19）[19，21]

6 5.5 6 6.4 5.5 6.5

每单收入

（元）

（1）求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；

（2）这个外卖小哥记得在[13，15）这个时段只有4单外卖带有饮品，现在从[13，15）这个时段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望．

【分析】（1）由频率分布直方图得a，然后求解外卖小哥送50单的收入即可．

（2）求出X的可能取值为0，1，2，3求出概率得到X的分布列然后求解期望即可．

【解答】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：2a＝1﹣2×（0.05×2+0.08×2+0.14）＝0.2，∴a＝0.1．………2" ∵样本n＝50，∴在[9，11）这个时间段的频数为0.08×2×50＝8，

同理可求得[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[10，21]这5个时间段的频数分别为14，10，5，8，5．……4"

∴外卖小哥送50单的收入为8×6+14×5.5+10×6+5×6.4+8×5.5+5×6.5＝293.5（元）．……5"

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在[13，15）这段时间共送10单，10单中有4单带饮品，6单不带饮品，X的可能取

值为0，1，2，3．……………………6"，

，

，

．…………………10"

∴X的分布列为：

X0 1 2 3

P

………11"

．………………12"

【点评】本题主要考查了随机变量的分布列及数学期望的应用问题，是综合题．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AC，BB1的中点．

（1）证明：BD∥平面AEC1；

（2）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角A﹣EC1﹣B的余弦值．

【分析】（Ⅰ）证明：取AC1的中点为F，连接DF，EF．证明BEFD为平行四边形，得到BD∥EF．然后证明BD∥平面AEC1．

（Ⅱ）设BC的中点为O，连接AO，以O为原点，以OB、OO1、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面AEC1的法向量，平面BEC1的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．

【解答】（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：取AC1的中点为F，连接DF，EF．

∵D，F分别为AC，AC1的中点，∴DF∥CC1，且………2"

∵E为BB1的中点∴．

∴DF∥BE且DF＝BE，∴BEFD为平行四边形，∴BD∥EF．…………………4"

∵EF?平面AEC1，BD?平面AEC1，∴BD∥平面AEC1．…………………6"

（Ⅱ）解：设BC的中点为O，连接AO，

∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，∵侧面都是正方形，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，

∵AB，BC?平面ABC且AB∩BC＝B，∴BB1⊥平面ABC，

∵AO?平面ABC，∴AO⊥BB1，∵BC∩BB1＝B，∴AO⊥平面BB1C1C．………………8"

取B1C1中点为O1，连接OO1，则OO1⊥BC．

以O为原点，以OB、OO1、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图．

设AB＝2，则，

∴．

设平面AEC1的法向量为，则

令x＝1，得，

取平面BEC1的法向量为．…………………10"

则，

故所求二面角的余弦值为．…………………12"

【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．

20．（12分）已知点F（1，0），动点M到直线l：x＝4的距离为d，且，设动点M的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）过点F作互相垂直的两条直线，分别交曲线E于点A，B和C，D，求四边形ABCD面积的最小值．【分析】（1）设M（x，y），通过化简求解整理得曲线E的方程．

（2）解法一：当直线AB的斜率为0时．求解四边形ACBD的面积．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，消去x得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，由已知可知△＞0恒成立，利用韦达定理以及弦长公式转化求解四边形ACBD的面积利用基本不等式求解四边形ACBD面积的最小值．

（2）解法二：当直线AB的斜率不存在时，求解四边形ACBD的面积，当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，消去y得（3+4k2）

x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．利用韦达定理以及弦长公式求解四边形ACBD的面积，利用基本不等式求解四边形ACBD面积的最小值即可．

【解答】（本小题满分12分）

解：（1）设M（x，y），∵，∴．…………………2"

整理得曲线E的方程为．…………………4"

（2）解法一：当直线AB的斜率为0时.，∴四边形ACBD的面积．…………………5"

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，消去x得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，由已知可知△＞0恒成立，

并且有．…………………7"

∴．

∵直线AB，CD互相垂直，∴同理可求得．…………………9"

∴四边形ACBD的面积

＝，当且仅当时取等号．

∵，∴四边形ACBD面积的最小值为．…………………12"

（2）解法二：当直线AB的斜率不存在时，可求出

．

∴|AB|＝3，|CD|＝4．∴四边形ACBD的面积．…………………5"

当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由已知可知△＞0恒成立，

并且有．…………………7"

∴．∵直线AB，CD互相垂直，∴用替换上式中的k可求得．………………9"

∴四边形ACBD的面积

＝，当且仅当时取等号．∵，∴四边形ACBD面积的最小值为．…………………12"

【点评】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．

21．（12分）已知函数f（x）＝xe x﹣a（x2+2x）（a∈R）．

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当时，函数f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，求证：．

【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数零点，由导函数零点对定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号得到原函数的单调区间；

（2）由f（0）＝0，可得x＝0是函数的一个零点，不妨设x3＝0，把问题转化为证，即证

．由f（x）＝0，得e x﹣a（x+2）＝0，结合x1，x2是方程e x﹣a（x+2）＝0的两个实根，得到，代入，只需证，不妨设x1＞x2．转化为证

．

设，则等价于e2t﹣2te t﹣1＞0（t＞0）．设g（t）＝e2t﹣2te t﹣1（t＞0），利用导数证明g（t）＞0即可．

【解答】（1）解：f′（x）＝e x+xe x﹣（2x+2）＝（x+1）（e x﹣2），

令f′（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝ln2．

当x＜﹣1或x＞ln2时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜ln2时，f′（x）＜0．

∴f（x）增区间为（﹣∞，﹣1），（ln2，+∞）；减区间为（﹣1，ln2）；

（2）证明：∵f（0）＝0，∴x＝0是函数的一个零点，不妨设x3＝0，

则要证，只需证．

由f（x）＝0，得e x﹣a（x+2）＝0，

∵x1，x2是方程e x﹣a（x+2）＝0的两个实根，

∴，①

，②，

①﹣②得：，

代入，只需证，不妨设x1＞x2．

∵x1﹣x2＞0，∴只需证．

∵，∴只需证．

设，则等价于e2t﹣2te t﹣1＞0（t＞0）．

设g（t）＝e2t﹣2te t﹣1（t＞0），只需证g（t）＞0，

又g"（t）＝2e t（e t﹣t﹣1），设φ（t）＝e t﹣t﹣1（t＞0），

则φ"（t）＝e t﹣1＞0，∴φ（t）在（0，+∞）上单调递增，则φ（t）＞φ（0）＝0．

∴g"（t）＞0，从而g（t）在（0，+∞）上是增函数，

∴g（t）＞g（0）＝0．

综上所述，．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属难题．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，射线l2的极坐标方程为．（1）求直线l1的倾斜角及极坐标方程；

（2）若射线l2与l1交与点M，与圆C交于点N（异于原点），求|OM|?|ON|．

【分析】（Ⅰ）直线l1的普通方程为．设直线l1的倾斜角为α，则，∵0≤α＜π，∴；把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得，直线l1的极坐标方程为；

（Ⅱ）利用极径的几何意义可得．

【解答】解：（Ⅰ）直线l1的普通方程为．

设直线l1的倾斜角为α，则，∵0≤α＜π，∴．……………3"

把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得，直线l1的极坐标方程为．……5"

（Ⅱ）把代入l1的极坐标方程中得，……………7"

把代入圆的极坐标方程中得，…………………9"

∴|OM|?|ON|＝ρ1ρ2＝8．…………………10"

【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知a＞0，b＞0，a+b＝1．设的最小值为m．

（1）求m的值；

（2）解不等式|x+1|﹣|x﹣3|＜m．

【分析】（Ⅰ）先变形，然后再用基本不等式可得；

（Ⅱ）分三段去绝对值解不等式，再相并．

【解答】解：（Ⅰ）．

∵a，b∈R+，∴，∴，

当且仅当，即时取等号，∴最小值为2，∴m＝3．…………5" （Ⅱ）|x+1|﹣|x﹣3|＜3．

当x≤﹣1时，原不等式化为﹣（x+1）+（x﹣3）＜3，解得x≤﹣1；

当﹣1＜x≤3时，原不等式化为x+1+x﹣3＜3，解得；

当x＞3时，原不等式化为x+1﹣（x﹣3）＜3，无解．

综上，原不等式的解集为．………………10"

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．

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